Question

【题目】菱形中，，，为上一个动点，，连接并延长交延长线于点.

（1）如图1，求证：；

（2）当为直角三角形时，求的长；

（3）当为的中点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当为直角三角形时，的长是或；（3）.

【解析】

（1）先根据菱形的性质证，再证，由全等的性质可得，进而得出结论；

（2）分以下两种情况讨论：①，②；

（3）过作于，过作于，当三点在同一直线上且时的值最小，即为的长.

解：（1）四边形是菱形，

，，

.

在和中，

，

，

.

（2）连接交于点,

四边形是菱形,

，.

又∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，

∴，.

∴.

∴.

，

.

当时，有，

在中，

,

设，，

，

，解得.

.

.

当时，有，

由知，

是等腰直角三角形.

.

综上：当为直角三角形时，的长是或.

（3）过作于，过作于，

在中，

又是的中点，

.

当三点在同一直线上且时

的值最小，即为的长.

在中，

，，

，

∴.

的最小值是.