Question

如图，反比例函数（）与长方形在第一象限相交于、两点，，，连结、、．记、的面积分别为、．

（Ⅰ）①点坐标为    　　  ；② 　（填“>”、“<”、“=”）；
（Ⅱ）当点为线段的中点时，求的值及点坐标；
（Ⅲ）当时，试判断的形状 ，并求的面积．

Answer 1

（Ⅰ）①点坐标为；②；（Ⅱ），；（Ⅲ）直角三角形，

试题分析：（Ⅰ）①根据，即可求得点坐标；②根据反比例系数k的几何意义即可判断；
（Ⅱ）根据点为中点可得点的坐标为，再代入，即可求得的值，从而得到点坐标；
（Ⅲ）由可得，从而求得k的值，再分别求得点、点的坐标，然后根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式即可求得结果.
（Ⅰ）①点坐标为；②．
（Ⅱ）当点为中点时，．
∴点的坐标为
把代入，得，解得．
∴．  
当时，，
∴点坐标为．  
（Ⅲ）∵，
∴．  
∴，即．
当时，，解得，故点坐标为；
当时，，故点坐标为．
∴，
，
． 
∴．
∴．
∴为直角三角形．
∴的面积．
点评：函数的综合题是初中数学的重点，在中考中比较常见，一般作为压轴题出现，难度较大．