Question

20．已知正方形ABCD，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当DQ+BP=PQ时，则∠QAP=45°．

Answer 1

分析 将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，根据旋转的性质可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，由PQ=PB+DQ，推出PE=PQ，再利用“边边边”证明△APE和△APQ全等，根据全等三角形的性质即可解决问题．

解答 解：证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
由旋转的性质得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵PQ=PB+DQ，
∴PE=PQ，
在△APE和△APQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{AE=AQ}\\{PE=PQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴∠PAE=∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠QAE=45°，
故答案为45°．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．