Question

如图：已知P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），AB=4，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；连结PG，当动点P从点A运动到点B时，设PG=m，则m的取值范围是（　　）

• A、

  3

  ≤m＜

  3

• B、

  3

  ＜m＜2
• C、2

  3

  ≤m＜4
• D、

  3

  ≤m＜

  3

  2

Answer 1

考点：梯形中位线定理,二次函数的最值,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：分别延长AC、BD交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，得出MN∥AB，从而求得PG＜AM且PG大于等于MN与AB间垂线段的长；

解答：解：如图，分别延长AC、BD交于点H，
∵∠A=∠DPB=60°，
∴AH∥PD，
∵∠B=∠CPA=60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN，
∴MN∥AB，PG＜AM，
∵当P在AB中点时，PH⊥AB，
∴当P在AB中点时，PG的值最小，
∵△AEP和△PFB是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴△AHB是等边三角形，
∴AH=AB=4，
∴当P在AB中点时，PH=2

3

，
∴PG=

3

∴PG的最小值时

3

，
所以

3

≤m＜2，
故选B．

点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．