Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AE为高，且AE=12，BD=15，AC=20．
（1）求AB+CD的长；（提示：过点A作AF∥BD）
（2）求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析：（1）首先过点A作AF∥BD交CD的延长线于F，易证得四边形ABDF是平行四边形，然后由勾股定理求得EF与EC的长，即可求得AB+CD的长；
（2）由AF=15，AC=20，CF=25，利用勾股定理的逆定理即可证得AF⊥AC，继而可得AC⊥BD．

解答：（1）解：过点A作AF∥BD交CD的延长线于F，
∵AB∥CD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，AF=BD，
∵AE为高，AE=12，BD=15，AC=20．
∴在Rt△AEF中，EF=

AF2-AE2

=

152-122

=9，
在Rt△AEC中，EC=

AC2-AE2

=

202-122

=16，
∴AB+CD=DF+CD=CF=25；

（2）证明：∵AF=15，AC=20，CF=25，
∴AF²+AC²=CF²，
∴∠FAC=90°，
∴AF⊥AC，
∵AF∥BD，
∴AC⊥BD．

点评：此题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．