题目内容
【题目】(1)（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，请判断线段BE与AF的数量关系并写出推断过程；
(2)（拓展研究）在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)（结论运用）在(1)(2)的条件下，若△ABC的面积为2，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点在同一直线上时，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）BE＝
AF．见解析；（2）无变化．证明见解析；（3）线段AF的长为
或
．
【解析】
（1）首先证明△ADB是等腰直角三角形，推出AB=AD，再证明AF=AD即可解决问题；
（2）先利用三角函数得出
，
，推出
，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；
(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=
，即可得出BE=-，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．
（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
根据勾股定理得，BC＝
＝AB，
又∵点D为BC的中点，
∴AD＝
BC＝
AB，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF＝EF＝AD＝AB＝BE，
∴BE＝AF．
（2）无变化．
证明：如图2，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠ABC＝
＝，
在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，
∴
，
∵∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴
，
∴BE＝AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，
∴BE=BF-EF=-，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=
-1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，
∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为-1或+1．
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【题目】在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：(直接填写结果)
费用(元) | 20 | 30 | 50 | 80 | 100 |
人数 | 6 | a | 10 | b | 4 |
(1)本次调查获取的样本数据的众数是 元，中位数是 元；
(2)扇形统计图中，“50元”所对应的圆心角的度数为 度，该班学生购买课外书的平均费用为 元；
(3)若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期购买课外书花费50元的学生有 人．
