Question

如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点D，OD的延长线交⊙O于点E，与过点C的⊙O的切线交于点F，已知OD=3，DE=2．
（1）求弦AC的长；
（2）求线段CF的长；
（3）求tan∠ABD．

Answer 1

分析：（1）根据题意可以推出AD的长度，根据垂径定理，即可得出AC的长度，（2）由题意推出△ODC∽△OCF，然后对应边成比例，即可推出CF的长度，（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，△ODH∽△OAD，结合三角形相似的性质，即可推出DH、OH的长度，便可得tan∠ABD的值．

解答：解：（1）∵OD⊥AC，AO=OD+ED=5，
∴AD=

OA2-OD2

=

52-32

=4，
∴AC=2AD=2×4=8；

（2）∵FC为⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴△ODC∽△OCF，
∴

OD

DC

=

OC

CF

，
∴CF=

20

3

；

（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∴△ODH∽△OAD，
∴DH=

12

5

，OH=

9

5

，
∴tan∠ABD=

DH

BH

=

6

17

．

点评：本题主要考查切线的性质、解直角三角函数、相似三角形的判定和性质，关键在于求证相关的三角形相似．