Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）．
（1）写出B的坐标

 

，AD的中点E的坐标

 

；
（2）求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）写出对角线BD与上述抛物线另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S_△PEB与△PBC的面积S_△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）已知AB=2就可以得到A，B的坐标，C、D与A、B的纵坐标分别相等，而已知AD=4就可以求出C、D、E的横坐标．
（2）已知抛物线的顶点，就可以设函数的一般形式，设顶点式，然后把C点的坐标，就可以求出函数的解析式．
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标，可以先求出直线BD的解析式，然后解由BD以及抛物线的解析式组成的方程组．
（4）△PBC中BC已知，BC边上的高就是P点的纵坐标的绝对值，因而面积可以很容易得到．过P，E分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，设抛物线与x轴左边的交点是F，△PEB的面积就是△EFP与△EFB的面积的和．

解答：解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+1，
∵抛物线经过点B（0，-1），
∴a（0-2）²+1=-1，
解得a=-

1

2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

（x-2）²+1，
经验证，抛物线y=-

1

2

（x-2）²+1经过点C（4，-1）；

（3）直线BD的解析式为：y=

1

2

x-1，
解方程组

y=- 1 2 (x-2)2+1 y= 1 2 x-1

，
得点P的坐标：P（3，

1

2

）；

（4）S_△PEB=

1

2

×4×

3

2

=3，
过P，E分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′
S_△PEB=

1

2

×2×2+

1

2

×（

3

2

+2）×1-

1

2

×3×

3

2

=

3

2

，
∴S_△PEB=

1

2

S_△PBC．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，求三角形的面积利用数形结合比较容易理解．