Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称，若连接BC，那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M；可先求出直线BC的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；
（3）根据△APM为等腰直角三角形，分别利用当AM=AP₂时，当PM=AM时，当AP₃=AM时，当AP₁=MP₁时求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），由于抛物线经过C（0，-3），
则有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，
那么M点为直线BC与x=1的交点；
由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，
则有：3k-3=0，k=1；
∴直线BC的解析式为y=x-3；
当x=1时，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）∵A（-1，0），M（1，-2），
∴AM=2

2

，
∴当AM=AP₂=2

2

时，
则P₂（2

2

-1，0），
当PM=AM时，P（3，0），
当AP₃=AM时，则P₃（-2

2

-1，0），
当AP₁=MP₁时，则P₁（1，0），
综上所述：符合题意的P点坐标为：（2

2

-1，0），（3，0），（-2

2

-1，0），（1，0）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．