题目内容
已知△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=15°，CD=
AB，试判断△ABC的形状并说明理由．
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考点：含30度角的直角三角形
专题：
分析：首先画出图形，根据三角形内角和定理求出∠A=75°．设CD=a，AD=b，则AB=2CD=2a．在△ACD中，根据正切函数的定义得出tan75°=
=
=2+
，则a=（2+
）b，再由勾股定理求出AC2=AD2+CD2=b2+a2=（8+4
）b2，BC2=BD2+CD2=（2a-b）2+a2=（28+16
）b2，得到AB=BC，从而判定△ABC是等腰三角形．
| CD |
| AD |
| a |
| b |
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| 3 |
| 3 |
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解答：
解：△ABC是等腰三角形，理由是：
如图，∵CD⊥AB于D，∠ACD=15°，
∴∠CDA=∠CDB=90°，∠A=75°．
∵设CD=a，AD=b，则AB=2CD=2a．
在△ACD中，∵tan75°=
=
=2+
，
∴a=（2+
）b，
由勾股定理得，AC2=AD2+CD2=b2+a2=b2+[（2+
）b]2=（8+4
）b2，
在△BCD中，由勾股定理得，BC2=BD2+CD2=（2a-b）2+a2=5a2-4ab+b2=5×[（2+
）b]2-4×（2+
）b•b+b2=（28+16
）b2，
又∵AB2=4a2=4×（2+
）b]2=（28+16
）b2，
∴AB2=BC2，AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
解：△ABC是等腰三角形，理由是：如图，∵CD⊥AB于D，∠ACD=15°，
∴∠CDA=∠CDB=90°，∠A=75°．
∵设CD=a，AD=b，则AB=2CD=2a．
在△ACD中，∵tan75°=
| CD |
| AD |
| a |
| b |
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∴a=（2+
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由勾股定理得，AC2=AD2+CD2=b2+a2=b2+[（2+
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在△BCD中，由勾股定理得，BC2=BD2+CD2=（2a-b）2+a2=5a2-4ab+b2=5×[（2+
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又∵AB2=4a2=4×（2+
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∴AB2=BC2，AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
点评：本题考查了勾股定理，正切函数的定义，三角形内角和定理，难度适中．本题利用了tan75°=2+
．
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| A、5 | B、8 | C、7 | D、6 |
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| A、2015个或2016个 |
| B、2014个或2015个 |
| C、2013个或2014个 |
| D、2012个或2013个 |