Question

如图，在边长为7的正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．请解答下列问题：
（1）试探究线段AM与EF的大小关系并说明理由；
（2）若BE=4，求AM的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）可先证明四边形APMQ是矩形，再证明△ABM≌△CBM，可证得AM=CM=EF；
（2）先求得EC，由勾股定理可求得EF，由（1）可得AM的长．

解答：解：（1）AM=EF，
理由：∵ME∥CD，MF∥BC，∠C=90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴CM=EF，
连接MC，

在△ABM和△CBM中，

AB=BC ∠ABM=∠CBM BM=BM

，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM=EF；
（2）∵BC=7，BE=4，
∴EC=3，
在Rt△EFC中，可求得EF=5，
∴AM=EF=5．

点评：本题主要考查正方形的性质及矩形的判定，先判定出四边形CEMF是矩形得到CM=EF是解题的关键．