Question

5．如图，顶点为P（2，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点A的坐标是（3，-3），求△OAP的面积．
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，l上有一点N，且点M、N关于点P对称，试证明：∠ANM=∠ONM．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-2）²-4，然后把原点坐标代入求出a即可得到二次函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线OA的解析式为y=-x，则确定M（2，-2），则MP=2，由于△OPM和△APM共底边PM，且PM边上的高的和为3，于是可利用S_△OAP=S_△OPM+S_△APM进行计算；
（3）过点A作AB⊥x轴于点B，AH⊥l于点H，l与x轴交于点C，如图，根据二次函数图象上点的坐标特征，设 A（m，m²-4m），则 H（2，m²-4m），B（m，0），C（2，0），通过证明△OCM∽△OBA，可求出CM=-2m+8，得到M（2，2m-8），再利用点M、N关于点P对称得到N（2，-2m），接着计算出$\frac{OC}{NC}$=$\frac{1}{m}$，$\frac{AH}{NH}$=$\frac{1}{m}$，即有$\frac{OC}{NC}$=$\frac{AH}{NH}$，根据相似三角形的判定方法得到△OCN∽△AHN，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）解：设二次函数的关系式为y=a（x-2）²-4，
∵二次函数图象经过原点（0，0），
∴0=（0-2）²-4，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x-2）²-4，即y=x²-4x；
（2）解：设直线OA的解析式为y=kx，
将A（3，-3）代入得-3=3k，解得k=-1，
∴直线OA的解析式为y=-x，
当x=2代入y=-x=-2，
∴M（2，-2），
∴MP=-2+4=2，
∴S_△OAP=S_△OPM+S_△APM=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）证明：过点A作AB⊥x轴于点B，AH⊥l于点H，l与x轴交于点C，如图，
设 A（m，m²-4m），则 H（2，m²-4m），B（m，0），C（2，0），
∵CM∥AB，
∴△OCM∽△OBA，
∴$\frac{CM}{AB}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{CM}{-{m}^{2}+4m}$=$\frac{2}{m}$，解得CM=-2m+8，
∴M（2，2m-8），
∴MP=2m-8+4=2m-4，
∵点M、N关于点P对称，
∴PN=MP=2m-4，
∴N（2，-2m），
∵OC=2，CN=2m，AH=m-2，NH=m²-2m，
∴$\frac{OC}{NC}$=$\frac{1}{m}$，$\frac{AH}{NH}$=$\frac{m-2}{{m}^{2}-2m}$=$\frac{1}{m}$
∴$\frac{OC}{NC}$=$\frac{AH}{NH}$，
而∠OCN=∠AHN，
∴△OCN∽△AHN，
∴∠ONC=∠ANH，
即∠ANM=∠ONM．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似三角形的判定与性质证明角相等的问题．