Question

在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．

（1）如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2=°，∠3-∠1=°；
（2）如图2，猜想∠3-∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC=α，∠BDC=β，用含α和β的代数式表示∠3-∠1的度数．（直接写出结果即可）

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠BEC-∠A，再根据角平分线的定义可得∠2=∠ACE；根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后相减即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠3，然后表示出∠3-∠1=90°-

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC，再根据三角形的内角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°-∠A，然后代入整理即可得解；
（3）在△BCE和△BCD中，根据三角形内角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2，然后根据∠3-∠1=

1

2

∠A整理即可得解．

解答：（1）解：在△ACE中，∠ACE=∠BEC-∠A
=130°-110°
=20°，
∵CE平分∠ACE，
∴∠2=∠ACE=20°，
∠ACB=2∠2=2×20°=40°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-110°-40°=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=

1

2

∠ABC=

1

2

×30°=15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3=90°-∠2=90°-20°=70°，
∴∠3-∠1=70°-15°=55°，
故答案为：20，55；

（2）∠3-∠1与∠A的数量关系是：∠3-∠1=

1

2

∠A．
证明：∵在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∵MN⊥BC于点N，
∴∠MNC=90°，
∴在△MNC中，∠3=90°-∠2，
∴∠3-∠1=90°-∠2-∠1，
=90°-

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC，
=90°-

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC=180°-∠A，
∴∠3-∠1=90°-

1

2

（180°-∠A），
=

1

2

∠A；

（3）解：∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β=180°，
∠2+2∠1+α=180°，
∴∠1+∠2=120°-

α+β

3

，
∵∠1+∠2=

1

2

（∠ACB+∠ABC）=

1

2

（180°-∠A），
∴120°-

α+β

3

=

1

2

（180°-∠A），
整理得，

1

2

∠A=

α+β

3

-30°，
∴∠3-∠1=

α+β

3

-30°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．