Question

【题目】如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．

（1）求证：点M是CF的中点；

（2）若E是的中点，BC＝a，写出求AE长的思路．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）求AE长的思路见解析．

【解析】

（1）根据切线的性质得到OD⊥AB于D．根据平行线的性质得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂径定理即可得到结论；

（2）连接DC，DF．由M为CF的中点，E为的中点，可以证明△DCF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=30°；根据切线的性质得到BC=BD=a．推出△BCD为等边三角形；解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB于D．

∴∠ODB＝90°．

∵CF∥AB，

∴∠OMF＝∠ODB＝90°．

∴OM⊥CF．

∴点M是CF的中点；

（2）思路：

连接DC，DF．

①由M为CF的中点，E为的中点，

可以证明△DCF是等边三角形，且∠1＝30°；

②由BA，BC是⊙O的切线，可证BC＝BD＝a．

由∠2＝60°，从而△BCD为等边三角形；

③在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝BD＝a，可以求得AD＝a，CO＝，OA＝；

④AE＝AO﹣OE＝﹣＝．

解：连接DC，DF，

由（1）证得M为CF的中点，DM⊥CF，

∴DC＝DF，

∵E是的中点，

∴CE垂直平分DF，

∴CD＝CF，

∴△DCF是等边三角形，

∴∠1＝30°，

∵BC，AB分别是⊙O的切线，

∴BC＝BD＝a，∠ACB＝90°，

∴∠2＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠A＝30°，

∴OD＝，AO＝，

∴AE＝AO﹣OE＝．