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1
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-1
-2sin45°-2
-1
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原式=
2
+1
2-1
-2×
2
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-
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2
=
2
+1-
2
-
1
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=
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．
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在计算1+3+3
2
+…3
999
+3
1000
的值时，可设S=1+3+3
2
+…3
999
+3
1000
①则3S=3+3
2
+…3
999
+3
1000
+3
1001
②
②-①得2S=3
1001
-1所以S=
3
1001
-1
2
即1+3+3
2
+…3
999
+3
1000
=
3
1001
-1
2
利用上述方法计算：
（1）1+8+8
2
+…8
2008
+8
2009
（2）1+x+x
2
+…x
n
（x≠1）
（2013•天水）观察下列运算过程：S=1+3+3
2
+3
3
+…+3
2012
+3
2013
①，
①×3得3S=3+3
2
+3
3
+…+3
2013
+3
2014
②，
②-①得2S=3
2014
-1，S=
3
2014
-1
2
．
运用上面计算方法计算：1+5+5
2
+5
3
+…+5
2013
=
5
2014
-1
4
5
2014
-1
4
．
（2013•黄陂区模拟）为求1+2
1
+2
2
+2
3
…+2
2012
的值，可令S=1+2
1
+2
2
+2
3
…+2
2012
，则2S=2
1
+2
2
+2
3
+2
4
…+2
2013
，因此2S-S=S=2
2013
-1．仿照以上推理，计算出1+3
1
+3
2
+3
3
+…+3
2012
的值是
3
2013
-1
2
3
2013
-1
2
．
求1+2
1
+2
2
+2
3
…+2
2013
的值，可令S=1+2
1
+2
2
+2
3
…+2
2013
，则2S=2
1
+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
2014
，因此2S-S=S=2
2014
-1．仿照以上推理，计算出1+3
1
+3
2
+3
3
+…+3
2012
+3
2013
的值是
1
2
（3
2014
-1）
1
2
（3
2014
-1）
．
为了求1+2+2
2
+2
3
+…+2
2008
的值，可令S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
2008
，则2S=2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
2009
，因此2S-S=2
2009
-1，所以1+2+2
2
+2
3
+…+2
2008
=2
2009
-1．仿照以上推理计算出1+3+3
2
+3
3
+…+3
2010
的值是
S=
3
2011
-1
2
S=
3
2011
-1
2
．
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