题目内容

如图所示，⊙O的半径OA=1，点M是线段OA延长线上的任意一点，⊙M与⊙O内切于点B，过点A作CD⊥OA交⊙M于C、D，连接CM、OC，OC交⊙O于E．
（1）若设OM=x，S_△OMC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，当x=4时，试判断⊙N与直线CM的位置关系；
（3）将⊙O绕着点E旋转180°得到⊙P，如果⊙P与⊙M内切，求x的值．

解：（1）∵⊙M与⊙O内切于点B，
∴CM=x+1．
又∵AM=x-1．
∴在直角三角形AMC中，根据勾股定理，得AC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ x•2 $\text{[math]}$ =y，
即y=x $\text{[math]}$ （x＞1）；

（2）当x=4时，则CM=5，AM=3，AC=4．

根据题意，得MN=3-1=2．
在直角三角形AMC中，sinM= $\text{[math]}$ ，
在直角三角形MNH中，则NH=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞1，
则⊙N与直线CM的位置关系是相离；

（3）连接ME．
根据题意，设MP=OM=OC=x，OE=PE=1，
则ME⊥OP．

∵OE=OA，
∴在Rt△OME中，ME= $\text{[math]}$ ，
在Rt△OAC中，AC= $\text{[math]}$ ，
∵OM=OC，OE=OA，
∴ME=AC=2 $\text{[math]}$ ．
根据勾股定理，得4x+1=x²，
解，得x=2± $\text{[math]}$ ，
又x＞1，
∴x=2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要求y关于x的函数解析式，根据三角形的面积公式，只需求得AC的长．根据两圆内切，圆心距等于两圆半径之差，可以求得CM=x+1，又AM=x-1，根据勾股定理求得AC的长，从而求得函数解析式，结合图形，即可求得x的取值范围；
（2）作NH⊥CM于H．根据题意，得到CM=5，AM=3，AC=4，MN=3-1=2．再根据解直角三角形的知识求得NH的长，从而判断直线和圆的位置关系；
（3）连接ME．根据题意，得MP=OM=x，OE=PE=1，则ME⊥OP．根据勾股定理，发现ME=AC=2 $\text{[math]}$ ．再进一步根据勾股定理，得4x+1=x²，从而求解．
点评：此题综合考查了两圆的位置关系与数量之间的联系、直线和圆的位置关系与数量之间的联系、勾股定理、等腰三角形的性质等．