Question

如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，∠DAC=∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由AD为圆的切线，得到∠OAD为直角，可得出一对角互余，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知的一对角相等，等量代换得到∠OCA与∠ACD互余，即∠OCD为直角，即可得到DE为圆O的切线；
（2）连接BG，在直角三角形OCE中，由OC与EC的长，利用勾股定理求出OE的长，由OE+OA求出AE的长，由AF垂直于ED，得到一对直角相等，再由公共角相等，得到三角形AEF与三角形OEC相似，由相似得比例列出关系式，将各自的值代入求出AF的长，由AB为直径，得到∠AGB为直角，可得出BG与BF平行，由平行得比例，求出AG的长，由AF-AG即可求出GF的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠OAC+∠DAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，
∴ED是⊙O的切线；

（2）解：连接BG，
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=

OC2+EC2

=10cm．
∴AE=OE+OA=16cm．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC，
∴

AF

OC

=

AE

OE

，
∴AF=

AE•OC

OE

=

16×6

10

=9.6cm．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴

AG

AF

=

AB

AE

，
∴AG=

AB•AF

AE

=

12×9.6

16

=7.2cm，
∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4cm．

点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．