题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2| 5 |
将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△A1B1O，连接BB1交x轴于点C．（1）分别求出点A1、B、B1的坐标；
（2）若抛物线y=3x2+bx+c经过A1，C两点，求此抛物线的解析式；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△PA1C与△BOC相似（其中P的对应点为B）？若存在，请你求出P点的坐标，并说明理由．
分析：（1）由A点坐标可求出A1点坐标，先求出B点坐标进而便可求出B1点坐标；
（2）先求出C点坐标，再将A1、C两点坐标代y=3x2+bx+c入即可解得此抛物线的解析式；
（3）根据三角形相似的性质求出相应的P点坐标，再根据抛物线的相似性便可求出另一个满足条件的P点坐标，注意不要漏解．
（2）先求出C点坐标，再将A1、C两点坐标代y=3x2+bx+c入即可解得此抛物线的解析式；
（3）根据三角形相似的性质求出相应的P点坐标，再根据抛物线的相似性便可求出另一个满足条件的P点坐标，注意不要漏解．
解答：（本题满分14分）
解：（1）由题意A（0，5）△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的A1点坐标为（5，0），
在Rt△AOB中，AB=
=
，
过B作BD⊥x轴于D点，
△ABO∽△ODB
∴
=
=
=2
OB=
=2
∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的B1点坐标为（4，-2）；
（2）由连接BB1交x轴于点C，可得C点坐标为（
，0）．（6分）
因抛物线y=3x2+bx+c经过A1，C两点，
则此抛物线的解析式为y=3(x-
)(x-5)；（8分）
（3）在x轴下方的抛物线上存在点P，使得△PA1C与△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B1A1C∽△BOC可证，
而B1（4，-2）在抛物线y=3(x-
)(x-5)上，
∴P点即B1点；（12分）
又由抛物线的对称性可知，点（4
，-2）也满足条件．（14分）
解：（1）由题意A（0，5）△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的A1点坐标为（5，0），
在Rt△AOB中，AB=
| OA2-OB2 |
| 5 |
过B作BD⊥x轴于D点，
△ABO∽△ODB
∴
| BD |
| OD |
| OB |
| AB |
2
| ||
|
OB=
| OD2+BD2 |
| 5 |
∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的B1点坐标为（4，-2）；
（2）由连接BB1交x轴于点C，可得C点坐标为（
| 10 |
| 3 |
因抛物线y=3x2+bx+c经过A1，C两点，
则此抛物线的解析式为y=3(x-
| 10 |
| 3 |
（3）在x轴下方的抛物线上存在点P，使得△PA1C与△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B1A1C∽△BOC可证，
而B1（4，-2）在抛物线y=3(x-
| 10 |
| 3 |
∴P点即B1点；（12分）
又由抛物线的对称性可知，点（4
| 1 |
| 3 |
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和旋转的性质及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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