Question

【题目】如图，为的直径，点、是上两点，，交的延长线于点.

（1）求证：．

（2）若，的半径为5，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）连结OB和OD，证出OB∥DE，根据平行线的性质可以得到∠ECB=∠OBC，根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠BCA，从而得出；

（2）作CH⊥OB于H，解直角三角形求出BE，BC，再证明∠BDC=∠EBC，可得sin∠BDC=sin∠EBC=，即可解决问题.

解：（1）连结OB和OD，

在△BOD和△BOA中，

∴△BOD≌△BOA(SSS)

∴∠BDO=∠BAO

∵∠BDO=∠OBD，∠BAO=∠BDC

∴∠BDC=∠OBD

∴OB∥DE

∴∠ECB=∠OBC

∵∠OBC=∠BCA

∴∠ECB=∠BCA

（2）作CH⊥OB于H

由（1）知OB∥DE

∴∠HBE=∠E=90°

∵∠CHB=∠HBE=∠E=90°

∴四边形BECH是矩形

∴BH=CE=2

∵OA=OB=OC=5

∴OH=3，CH=BE==4

∴BC=

∵∠EBC+∠OBC=90°，∠OBC+∠OBA=90°

∴∠EBC=∠OBC

∵∠BDC=∠BAO=∠OBA

∴∠BDC=∠EBC

∴sin∠BDC=sin∠EBC=

故答案为.