Question

如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB(含端点)上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．

(1)△ABC与△SBR是否相似，说明理由；

(2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

(3)设边AB＝1，当P在边AB(含端点)上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°． 　　在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角， 　　∴△ABC∽△SBR．(1分) 　　(2)线段TS的长度与PA相等．(2分) 　　∵四边形PTEF是正方形， 　　∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°， 　　在Rt△PFA中，∠PFA＋∠FPA＝90°， 　　∴∠PFA＝∠TPS， 　　∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS．(3分) 　　当点P运动到使得T与R重合时， 　　这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS． 　　(若下面解题中没有求出x的取值范围是0≤x≤，以上的讨论可评1分) 　　由以上可知，线段ST的长度与PA相等． 　　(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高， 　　∴PS＝BS，∴BS＋PS＋PA＝1，∴PS＝．(4分) 　　设PA的长为x，易知AF＝PS， 　　则y＝PF＝PA＋PS，得y＝x＋()， 　　即y＝，(5分) 　　根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为　　(6分) 　　如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大． 　　易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， 　　∴PA＝． 　　如图3，当P与A重合时，得x＝0． 　　∴x的取值范围是0≤x≤　　(7分) 　　(此处为独立得分点，只要求出x≤即可得1分) 　　∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到(8分) 　　∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到　　(8分) 　　(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 　　∵≤≤，∴在点P的运动过程中， 　　正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是　　(9分)