Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．

（1）求的值和抛物线的解析式；

（2）点在抛物线上，且点的横坐标为（）．轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图2），若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值；

（3）是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1），抛物线的解析式为；（2），有最大值；（3）点的横坐标为或．

【解析】

（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．

（1）∵直线：经过点，

∴，

∴直线的解析式为，

∵直线：经过点，

∴，

∵抛物线经过点和点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）令，则，解得，

∴点的坐标为，

∴，

在中，，

∴，

∵轴，

∴，

在矩形中，，

，

∴，

∵点的横坐标为（），

∴，，

∴，

∴，

∵，且，

∴当时，有最大值；

（3）∵绕点沿逆时针方向旋转，

∴轴时，轴，设点的横坐标为，

①如图1，点、在抛物线上时，点的横坐标为，点的横坐标为，

∴，

解得，

②如图2，点、在抛的线上时，点的横坐标为，点的纵坐标比点的纵坐标大，

∴，

解得，

综上所述，点的横坐标为或．