Question

【题目】某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为（x+20）元/件（1≤x≤50），且该商品每天的销量满足关系式y=200﹣4x．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．
（1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）该公司每天还需要支付人工、水电和房租等其它费用共计a元，若公司要求每天的最大利润不低于2200元，且保证至少有46天盈利，则a的取值范围是（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，

得：0.8×（10+20）﹣a=0.2a，

解得：a=20，

故该公司生产每件商品的成本为20元

（2）解：设第x天的销售利润为W，

则：W=（x+20﹣20）（﹣4x+200）=﹣4x2+200x=﹣4（x﹣25）2+2500，

∴当x=25时，W取得最大值，最大值为2500元，

故问销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元

（3）0＜a≤300
【解析】解： （3）记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P， 则P=﹣4（x﹣25）2+2500﹣a，
根据题意：2500﹣a≥2200，
解得：a≤300，
又∵至少有46天的盈利，
∴﹣4x2+200x﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥46，
∴（x1﹣x2）2≥462 ， 即（x1+x2）2﹣4x1x2≥462 ，
∵x1+x2=50，x1x2= ，
∴502﹣4× ≥462 ， 解得：a≤384，
综上，0＜a≤300，
所以答案是：0＜a≤300．