Question

【题目】已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（ ）
A.a＞0，x＞0，f（x）≥0
B.a＞0，x＞0，f（x）≤0
C.a＞0，x＞0，f（x）≥0
D.a＞0，x＞0，f（x）≤0

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0， ∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），
令f′（x）=0，解得x= ，
当x∈（0， ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x= ，函数有最小值，最小值为f（ ）= e2a﹣1+a
∴f（x）≥f（ ）= e2a﹣1+a，
若f（x）≥0恒成立，
只要 e2a﹣1+a≥0，
设g（a）= e2a﹣1+a，
∴g′（a）=1﹣e2a﹣1 ，
令g′（a）=0，解得a=
当a∈（ ，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
当x∈（0， ）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增
∴g（a）＜g（ ）=0，
∴ e2a﹣1+a≤0，当且仅当a= 时取等号，存在唯一的实数a= ，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，
当a≠ 时，f（x）＜0，故C错误
故选：C
【考点精析】根据题目的已知条件，利用全称命题的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题．