Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为F（1，0），且经过点
（1）求椭圆P的方程；
（2）已知正方形ABCD的顶点A，C在椭圆P上，顶点B，D在直线7x﹣7y+1=0上，求该正方形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得：a2﹣b2=1， + =1，联立解得a2=4，b2=3．

∴椭圆P的方程为 + =1．

（2）

∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，设直线AC的方程为：y=﹣x+m．

代入椭圆方程可得：7x2﹣8mx+4m2﹣12=0，

△=64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得 ＜m ，

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则x1+x2= ，x1x2= ，y1+y2=2m﹣（x1+x2）=2m﹣ = ．

∴线段AC的中点M ．

由点M在直线BD上，∴7× ﹣7× +1=0，解得m=﹣1∈ ．

∴直线AC的方程为：x+y+1=0．

|AC|= = × = ．

∴该正方形ABCD的面积S= = = ．

【解析】（1）由题意可得：a2﹣b2=1， + =1，联立解出即可得出．（2）ABCD为正方形，可得AC⊥BD，设直线AC的方程为：y=﹣x+m．代入椭圆方程可得：7x2﹣8mx+4m2﹣12=0，△＞0，解得 ＜m ，设A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AC的中点M ．由点M在直线BD上，代入解得m=﹣1∈ ．可得直线AC的方程为：x+y+1=0．可得|AC|= ．可得该正方形ABCD的面积S= ．