题目内容

如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．
（1）请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
（2）将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．

解：（1）FD= $\text{[math]}$ CF，
理由如下：
延长DF，交AC于G；
∵∠CDE=∠ACD=120°，
∴DE∥AG；
∵F是AE的中点，
∴F是GD的中点，即AE、DG互相平分，
∴四边形AGED是平行四边形，
∴AG=DE=DB；
∵BC=AC，∴CG=CD，
在等腰△CGD中，F是DG的中点，则CF⊥GD，且∠FCD= $\text{[math]}$ ∠ACB=60°，
故FD= $\text{[math]}$ CF．

（2）延长DF至G，使得DF=FG；
则DG、AE互相平分，连接AG、CG；

故四边形AGED是平行四边形；
∴AG=DE=BD，且AG∥DE；
∴∠AGM=∠MDE=∠3+∠4=∠3+60°；
四边形AGMC中，
∠1+120°+∠CAG+∠AGF=360°，即∠1+120°+∠CAG+∠3+60°=360°?∠1+∠3+∠CAG=180°；
△DBM中，∠CBD+∠2+∠3=180°，
∵∠1=∠2，∴∠CAG=∠CBD=α；
又∵AG=BD，AC=BC，

∴△AGC≌△BDC，得GC=CD，∠ACG=∠DCB；
∴∠BCD+∠GCB=∠ACG+∠GCB=∠ACB=120°，
在等腰△GCD中，F是GD的中点，则CF⊥GD，且∠FCD=60°，
故FD= $\text{[math]}$ CF，所以（1）的结论依然成立．

（3）FD= $\text{[math]}$ CF，如图．（解法与（2）完全相同）．
分析：（1）延长DF交AC于G，由于∠EDC=∠ACB=120°，易得AC∥DE，而F是AE中点，根据平行线分线段成比例定理得DF=FG，即F是DG的中点，那么DG、AE互相平分，即四边形AGED是平行四边形，得AG=DE=DB，由此可证得AG=AD，在等腰△CDG中，F是DG的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可知AF平分∠ACB，即∠FCD=60°，根据直角三角形的性质即可得到CF、DF的比例关系．
（2）此题解法与（1）大致相同；延长DF到G，使得DF=FG，连接CG，那么AE、DG互相平分，即四边形AGED是平行四边形，得AG=DE=BD，然后证△AGC≌△BDC，可得到GC=CD，后面的解法与（1）相同．
（3）解法与（2）完全相同．
点评：此题主要考查的是旋转的性质，还涉及到：等腰三角形及等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识的综合应用，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．