Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是 AB 上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）填空：∠APC=        度，∠BPC=        度；

（2）求证：△ACM≌△BCP；

（3）若PA=3，PB=6，求梯形PBCM的面积．

Answer 1

 （1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；                   
（2）证明：∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M=180°，

∠PCM=∠BPC，

∵∠BPC=∠BAC=60°，

∴∠PCM=∠BPC=60°，

∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，

∴∠M=∠BPC=60°，                                   

又∵A、P、B、C四点共圆，

∴∠PAC+∠PBC=180°，

∵∠MAC+∠PAC=180°

∴∠MAC=∠PBC

∵AC=BC，

∴△ACM≌△BCP；                                   

（3）解：作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM=CP  AM=BP，

又∠M=60°，

∴△PCM为等边三角形，

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=3+6=9，                     

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，

∴PH=，∴S_梯形PBCM=（PB+CM）×PH= (6+9)×=…