Question

【题目】操作探究

如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　 　；②当α＝180°时，＝　 　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

Answer 1

【答案】（1）①，②（2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化（3）BD的长为或

【解析】

（1）①当α＝0°时，则点D、E分别是边BC、AC的中点，得DE∥BA，进而即可得到答案；②当α＝180°时，则点D、E分别是边BC、AC的延长线上，且DE∥BA，由，即可得到答案；

（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得到结论；

（3）分两种情况讨论：①当点E在AB的延长线上时， ②当点E在线段AB上时， 结合＝，分别求出答案，即可．

（1）①∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，

∴，

当α＝0°时，则点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE∥BA，

∴，即：，

故答案是：；

②当α＝180°时，则点D、E分别是边BC、AC的延长线上，且DE∥BA，

∴=，

∴ ．

故答案是：；

（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，理由如下：

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，即：CD=1，CE=，

∴==，

∴△ECA∽△DCB，

∴==；

（3）①当点E在AB的延长线上时，如图3，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②当点E在线段AB上时，如图4，

∵BC=2，CE=，∠ABC=90°，

∴BE＝1，AE＝4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝．

综上所述，满足条件的BD的长为或．