题目内容
【题目】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1,3,6,10，……，由于这些数可以用图中所示的三角形点阵标表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用
表示.
请根据以上材料，证明以下结论：
(1)任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
(2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）第n个三角形数
乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分别用n表示出第n、n＋1个三角形数，进一步相加整理得出答案即可．
(1)∵
.
∴任意一个三角形数乘以8再加上1是一个完全平方数.
∵第
个三角形数为，第
个三角形数为
.
∴这两个三角形数的和为
＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
∴任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
（2）∵第n个三角形数为，第n＋1个三角形数为
，
∴这两个三角形数的和为：＋＝
＝（n＋1）2，
即连续两个三角形数的和是一个完全平方数．
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