Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D．

(1)在图(1)中，用直尺和圆规过点D作⊙O的切线DE交BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)如图(2)，如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)OG＝．

【解析】

(1)连接OD,作∠COD的平分线交BC于点E,连接DE,DE就是⊙O的切线;

(2)连接OD,CD.CD与FF交于点H,根据切线长定理可得OE⊥CD， 然后利用勾股定理可得AD= .由题意易得OE∥AB,于是易证△OFG∽△ADG,根据相似三角形对应线段成比例,即可求出OG的长.

(1)切线DE如图所示；

(2)连接CD，OD；

由题意EC、ED是⊙O的切线，

∴EC＝ED，∵OC＝OD，

∴OE⊥CD，

∵AC是直径，

∴∠CDA＝90°，

∴CD⊥AB，

∴OE∥AB，

∴，

在Rt△ECO中，EO＝ ＝5，

∵∠EOC＝∠CAD，

∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝ ＝ ，

∴AD＝ ，设OG＝x，

则有，

∴x＝ ，

∴OG＝．