Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径和tan∠DBE的值．

Answer 1

解：（1）连接OD，
∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，则∠EBD=∠ODB，
则OD∥BE，
∠ODE=∠DEB=90°，
DE是⊙O的切线；

（2）设OD交AC于点M，
∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵∠DEC=90°，
∴四边形DMCE是矩形，DM=EC=1，
AM=MC=DE=2，
设⊙O的半径为x，得x²=2²+（x-1）²，
解得：，
∴⊙O的半径为，
∵DE是圆的切线，
∴DE²=CE•BE，
∵CE=1，ED=2，
∴4=1×BE，
∴BE=4，
∴tan∠DBE===．
分析：（1）连接OD，可证出OD∥BE，从而得出∠ODE=90°，即得出答案；
（2）设OD交AC于点M，可得出四边形DMCE为矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理得出x，即为圆的半径；有（1）可知DE是圆的切线，利用切割线定理和已知的数据可求出BE的长，在直角三角形DEB中进而求出tan∠DBE的值．
点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理和锐角三角函数，是一道综合题，难度不大．