Question

【题目】已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．

（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：① ，② ，③ ，④ （不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

（2）∠A=30°，CD=，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等:（2）2.

【解析】

试题分析：（1）由BC是⊙O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；

（2）当∠A=30°时BD=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中tan60°可求得r=2．

试题解析：（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠A=30°，

∴BD=ABsinA=ABsin30°=AB=r；

又∵BC是⊙O的切线，

∴∠CBA=90°，

∴∠C=60°；

在Rt△BCD中，

CD=，

∴=tan60°，

∴r=2．