Question

如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=-

2

x

的图象交于A、B两点．过A点分别作x轴、y轴的垂线，E、F为垂足．
（1）请直接写出矩形AEOF的面积；
（2）设一次函数y=ax+b与x轴、y轴的交点分别为C、D，当OC=3OE时．
①试求△OCD的面积；
②当OE=1时，以BD为直径作⊙N，与x轴相交于P点，请求出P点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数系数k的几何意义,勾股定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由反比例函数系数k的几何意义即可得到矩形AEOF的面积．
（2）①设OE=m（m＞0），即可用m表示出点A、C的坐标，再由△DOC∽△AEC即可求出OD的长度（用m表示），进而可以求出△DOC的面积．
②由OE=1得m=1，从而得到点A、C的坐标，进而求出直线AC的解析式，就可求出点D、B的坐标，以及BD的长度（即⊙N的直径），然后借助于三角形相似就可求出点N的坐标，再借助于勾股定理即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）如图1，
∵点A在反比例函数y=-

2

x

的图象上，
且AE⊥x轴，AF⊥y轴，
∴S_矩形AEOF=

.

-2

.

=2．
∴矩形AEOF的面积为2．
（2）①如图1，
设OE=m（m＞0），则E（-m，0）．
∴C（3m，0），A（-m，

2

m

）．
∴OC=3m，CE=4m，AE=

2

m

．
∵AE⊥x轴、AF⊥y轴，
∴∠DOC=∠AEC=90°．
又∵∠DCO=∠ACE，
∴△DOC∽△AEC．
∴

OD

AE

=

OC

CE

．
∴

OD

2 m

=

3m

4m

．
∴OD=

3

2m

．
∴S_△OCD=

1

2

OC•DO=

1

2

×3m×

3

2m

=

9

4

．
∴△OCD的面积为

9

4

．
②过点N作NG⊥y轴，垂足为G，过点B作BH⊥y轴，垂足为H，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，连接NP，如图2所示．
∵OE=1，
∴m=1．
∴A（-1，2），C（3，0）．
∵点A、点C在直线y=ax+b上，
∴

-a+b=2 3a+b=0

解得：

a=- 1 2 b= 3 2

．
∴y=-

1

2

x+

3

2

．
当x=0时，y=

3

2

．
∴OD=

3

2

．
∵A、B是直线y=-

1

2

x+

3

2

与反比例函数y=-

2

x

图象的交点，
∴-

1

2

x+

3

2

=-

2

x

．
解得：x₁=-1，x₂=4．
当x₁=-1时，y₁=2；
当x₂=4时，y2=-

1

2

．
∴点B的坐标为（4，-

1

2

）．
∴BH=4，OH=

1

2

．
∴DH=2．
∵∠BHD=90°，
∴BD=

DH2+BH2

=

22+42

=2

5

．
∴PN=

5

．
∵NG⊥y轴，BH⊥y轴
∴NG∥BH
∴△DGN∽△DHB．
∴

DG

DH

=

GN

HB

=

DN

DB

．
∵DN=

1

2

DB，
∴DG=

1

2

DH，NG=

1

2

BH=2．
∵点N在直线y=-

1

2

x+

3

2

上，
∴点N(2，

1

2

)．
∴NM=

1

2

．
∵NM⊥PP′，
∴PM=P′M，∠NMP=90°．
∵PN=

5

，NM=

1

2

，
∴PM2=NP2-MN2=

19

4

．
∴PM=

19

2

．
∴P′M=

19

2

．
∴P点的坐标为（2-

19

2

，0）或（

19

2

+2，0）．

点评：本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，有一定的综合性．