Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)若EC＝3，BD＝，求⊙O的直径AC的长度；

(3)若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接DO， 　　∵∠ACB＝90°，AC为直径， 　　∴EC为⊙O的切线， 　　又∵ED也为⊙O的切线， 　　∴EC＝ED．(2分) 　　又∵∠EDO＝90°， 　　∴∠BDE＋∠ADO＝90°， 　　∴∠BDE＋∠A＝90°， 　　又∵∠B＋∠A＝90° 　　∴∠BDE＝∠B， 　　∴EB＝ED． 　　∴EB＝EC，即点E是边BC的中点．(4分) 　　(2)∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线， 　　∴BC2＝BD·BA， 　　∴(2EC)2＝BD·BA，即BA·＝36， 　　∴BA＝，(6分) 　　在Rt△ABC中，由勾股定理得 　　AC＝＝＝．(7分) 　　(3)△ABC是等腰直角三角形．(8分) 　　理由：∵四边形ODEC为正方形， 　　∴∠DOC＝∠ACB＝90°，即DO∥BC， 　　又∵点E是边BC的中点， 　　∴BC＝2OD＝AC， 　　∴△ABC是等腰直角三角形．(10分)