Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx＋k，与x轴，y轴分别交于点A，B，经过点A的抛物线y＝ax2＋bx﹣3a与x轴另一个交点为点D，AD＝4，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．

（1）求点C的坐标（用k表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线的对称轴在y轴右侧，连接BD，BD比BO长1，抛物线与线段BC恰有一个公共点，求直线y＝mx＋k的解析式和a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C（5，k）；（2）x＝1或者x＝－1；（3）y＝4x＋4，或或a＝﹣1．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；

（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．

解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝mx＋k得y＝k，

∴B（0，k），

∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，

∴C（5，k）；

（2）令y＝0代入抛物线y＝ax2＋bx﹣3a得到x＝

∴A（，0），D（，0）

∵AD＝4

∴＝4

两边平方得到

b2－4a(﹣3a)＝16a2

解得 b＝－2a，b＝2a

∴抛物线的对称轴x＝1或者x＝－1；

（3）∵抛物线的对称轴在y轴右侧

∴x＝﹣＝1 ．

∴抛物线y＝ax2－2ax﹣3a

∴点A（﹣1，0）点D（3，0）．

∵BO＝k，则BD＝k＋1

∴(k＋1)2＝k2＋32

∴k＝4

∵直线y＝mx＋k，与x轴，y轴分别交于点A，B

∴直线y＝4x＋4．

①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴﹣3a＜4，a＞﹣，

将x＝5代入抛物线得y＝12a，

∴12a≥4，a≥，

∴a≥；

②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴﹣3a＞4，a＜﹣；

将x＝5代入抛物线得y＝12a，

∴12a≤4，a≤，

∴a＜﹣．

③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），

如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，

解得a＝﹣1．

综上所述，直线的解析式为y＝4x＋4，a的取值范围为a≥或a＜﹣或a＝﹣1．