Question

如图，二次函数y=

1

2

x²+c的图象经过点D（-

3

，

9

2

），与x轴交于A，B两点．
（1）求c的值；
（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
（3）设点P，Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P，Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图②供选用）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；
（2）若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；
由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4

3

，于是以A点为圆心，AB=4

3

为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

解答：解：（1）将点D代入二次函数y=

1

2

x²+c中，
则有

9

2

=

3

2

+c，
∴c=6；
（2）作CF⊥BD，AG⊥BD，

∵直线AC将四边形ABCD的面积二等分，
∴S_△ACD=S_△ACB，
∵S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE，S_△ACB=S_△BCF+S_△ABF，
∴S_△CDE+S_△ADE=S_△BCF+S_△ABF，
∴

1

2

DE•AG+

1

2

DE•CF=

1

2

BE•AG+

1

2

BE•CF，即

1

2

DE（AG+CF）=

1

2

BE（AG+CF），
∴BE=DE，即线段BD被直线AC平分，
∵二次函数解析式为y=

1

2

x²+6，A，C为抛物线与x轴交点，
∴C点坐标为（2

3

，0），A点坐标为（-2

3

，0），
∵E是BD中点，
∴E点坐标为（

3

2

，

9

4

）
∴直线AC经过A，E两点，
设直线AC解析式为y=kx+b，则有

0=-2 3 k+b 9 4 = 3 2 k+b

，
解得：b=

9

5

，k=

3 3

10

，
∴直线AC解析式为y=

3 3

10

x+

9

5

；
（3）存在．

设抛物线顶点为N（0，6），
在Rt△AON中，易得AN=4

3

，
于是以A点为圆心，AB=4

3

为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，
再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，
此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

点评：此题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、三角形面积的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性质．