Question

【题目】对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为.

(1)求函数()的对折函数；

(2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值；

(3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或-6；(3)n<-1时，与x轴有4个交点，n=-1时，与x轴有3个交点；与x轴有2个交点；n=3时，与x轴有3个交点；n>3时，与x轴无交点.

【解析】

（1）根据定义得出对折后函数的顶点坐标为，该函数表达式为：；

（2）将点代入求解出m的值即可；

（3）)分当时、当时、 当时、当时、当时，画出具体的函数图像进行观察与x轴的交点个数即可

(1)令，则或3，如图1：即点的坐标为，，则对折后函数的顶点坐标为，该函数表达式为：，

即对折函数为.

(2)将点代入

解得：或-6(不合题意的值已舍去)

即或-6；

(3)①当时，如图2：

此时在点的左侧，从图中可以看出：函数与轴有4个交点；

②当时，过点，从图1可以看出：函数与轴有3个交点；

③同理：当时，函数与轴有2个交点；

④同理：当时，函数与轴有3个交点；

⑤同理：当时，无交点.