Question

如图，抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析：（1）直接把点A（-1，0），B（1，0）代入抛物线y=ax²+bx+1求出ab的值，进而可得出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C、B三点的坐标判断出△ABC的形状，故可判断出四边形ACBD的形状，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出直线BD的解析式，求出D点坐标，利用两点间的距离公式求出BD及AC的长，利用梯形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），
∴

a-b+1=0 a+b+1=0

，解得

a=-1 b=0

，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+1；

（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=-x²+1，
∴C（0，1），
∵A（-1，0），B（1，0），∠BOC=90°，
∴OB=OB=OC=

2

，
∴∠OCB=∠OCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD∥CA，
∴四边形ACBD是直角梯形，
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b，
∵A（-1，0），C（0，1），
∴

-k+b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵BD∥CA，B（1，0），
∴把直线AC向右平移2个单位即可得到直线BD，
∴直线BD的解析式为：y=x-1，
∴

y=x-1 y=-x2+1

，解得

x=1 y=0

或

x=-2 y=-3

，
∴D（-2，-3），
∴BD=

(1+2)2+(-3)2

=3

2

，
∴S_{四边形ACBD}=

1

2

（AC+BD）•BC=

1

2

×（

2

+3

2

）×

2

=4．
答：四边形ACBD的面积为4．

点评：本题考查的是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有用待定系数法求二次函数即一次函数的解析式，直角梯形的判定与性质，一次函数的图象与几何变换等知识，难度适中．