Question

19．如图1，在长为6厘米，宽为3厘米的矩形PQMN中，有两张边长分别为2厘米和1厘米的正方形纸片ABCD和EFGH，且BC在PQ上，EF在PN上，PB=1厘米，PF=$\frac{1}{2}$厘米．从初始时刻开始，纸片ABCD沿PQ以2厘米/秒的速度向右平移，同时纸片EFGH沿PN以1厘米/秒的速度向上平移，当C点与Q点重合时，两张纸片同时停止移动，设平移时间为t秒时（如图2），纸片ABCD扫过的面积为S₁，纸片EFGH扫过的面积为S₂，AP、PG、GA所围成的图形面积为S（这里规定线段面积为零，扫过的面积含纸片面积）．

解答下列问题：
（1）当t=$\frac{1}{2}$时，PA=PG+GA；（填“＞”或“＜”或“=”）
（2）求S与t之间的关系式；
（3）当t=$\frac{1}{2}$，且S₁+S₂=4S+5时，正方形纸片ABCD和EFGH均停止运动，此时有两点R、T分别从点P和点Q出发，沿矩形MNPQ的边逆时针方向运动，点R运动的速度为2厘米/秒，点T运动的速度为1厘米/秒，当点R追上点T时运动停止．若点R运动时间为x秒，当x为何值时，△RTD为等腰三角形？请直接写出x的所有值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，PG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴PA=PG+GA．
（2）由（1）得当t=0.5时，G在AP上，那么可分G在△APB内和△APB外两种情况进行解答．
（3）按等量关系列出等式，根据t的取值范围得到所求．

解答 解：（1）当t=$\frac{1}{2}$时，PG=$\sqrt{2}$，PA=2$\sqrt{2}$，此时PA=PG+GA
（2）如图1，当0≤t≤0.5时，连接BG
S_△APG=S_△APB-S_△PGB-S_△AGB，
=$\frac{1}{2}$×2（2t+1）-$\frac{1}{2}$（2t+1）（t+0.5）-$\frac{1}{2}$×2×2t，
=-t²-t+$\frac{3}{4}$
②如图2，当0.5＜t≤1.5时，过A作AK⊥PN于K，连接K
S_△APG=S_△APK-S_△PGK-S_△AGK
=$\frac{1}{2}$×2（2t+1）-$\frac{1}{2}$（2t+1）（1.5-t）-$\frac{1}{2}$×1×2
=t²+t-$\frac{3}{4}$
（3）存在
S₁=2（2t+2）=4t+4，S₂=t+1
若S₁+S₂=4S+5，
4t+4+t+1=4（t²+t-$\frac{3}{4}$）+5，即4t²-t-3=0
∴t₁=-$\frac{3}{4}$（舍去），
t₂=1；                                
即当t=1时，S₁+S₂=4S+5．
（3）∵纸片DEFG沿RS方向平移，
∴4≤x≤24．
如图3，当CD=AC时，作CH⊥GD的延长线点H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-6-4=2，CH=（x+4）-（2x-4）=8-x，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=$\sqrt{64+36}$=10
在Rt△CHD中，由勾股定理，得
（8-x）²+2²=100，
解得：x₁=8+4
，x₂=8-4$\sqrt{6}$＜4（舍去）；
如图4，当AD=AC时，作DH⊥PQ于点H
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-4=8，AH=（x+4+8）-（2x-4）=16-x，
在Rt△ADH中，由勾股定理，得
（16-x）²+8²=100，
解得：x₁=22，x₂=10；
如图5，当AD=CD时，作DK⊥BC于BC延长线于点K，作DH⊥PQ于点H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DK=2x-4-（x+4）=x-8，KC=12-4-6=2，
AH=x+4+8-（2x-4）=16-x，DH=12-4=8．
∴（x-8）²+4=（16-x）²+64，
∴x=15$\frac{3}{4}$；
综上所述：纸片DEFG沿RS方向平移，当x的值为：22，10，15$\frac{3}{4}$，8+4$\sqrt{6}$时，以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 本题考查运动过程中面积的变化形式，图形的旋转、平移，勾股定理的应用，分类讨论思想．注意扫过的面积应是原来正方形的面积+扫过矩形的面积．