题目内容
（2004•大连）如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．求证：AD•CE=DE•DF；
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得8分；选取②完成证明得6分；选取③完成证明得4分．
①∠CDB=∠CEB；
②AD∥EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．
【答案】分析：连接AF，由直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等的性质，证得直线CD是⊙O的切线，若证AD•CE=DE•DF，只要征得△ADF∽△DEC即可．在第一问中只能证得∠EDC=∠DAF=90°，所以在第二问中只要证得∠DEC=∠ADF即可解答此题．
解答：
（1）证明：连接AF，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF=90°，
∴∠F+∠ADF=90°，
∵∠F=∠ABD，∠ADG=∠ABD，
∴∠F=∠ADG，
∴∠ADF+∠ADG=90°
∴直线CD是⊙O的切线
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DAF=90°；
（2）选取①完成证明
证明：∵直线CD是⊙O的切线，
∴∠CDB=∠A．
∵∠CDB=∠CEB，
∴∠A=∠CEB．
∴AD∥EC．
∴∠DEC=∠ADF．
∵∠EDC=∠DAF=90°，
∴△ADF∽△DEC．
∴AD：DE=DF：EC．
∴AD•CE=DE•DF．
点评：此题考查了切线的性质与判定、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识．注意乘积的形式可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．还要注意构造直径所对的圆周角是圆中的常见辅助线．
解答：
（1）证明：连接AF，∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF=90°，
∴∠F+∠ADF=90°，
∵∠F=∠ABD，∠ADG=∠ABD，
∴∠F=∠ADG，
∴∠ADF+∠ADG=90°
∴直线CD是⊙O的切线
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DAF=90°；
（2）选取①完成证明
证明：∵直线CD是⊙O的切线，
∴∠CDB=∠A．
∵∠CDB=∠CEB，
∴∠A=∠CEB．
∴AD∥EC．
∴∠DEC=∠ADF．
∵∠EDC=∠DAF=90°，
∴△ADF∽△DEC．
∴AD：DE=DF：EC．
∴AD•CE=DE•DF．
点评：此题考查了切线的性质与判定、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识．注意乘积的形式可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．还要注意构造直径所对的圆周角是圆中的常见辅助线．
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