Question

（2012•沙坪坝区模拟）如图（1），在?ABCD中，对角线CA⊥AB，且AB=AC=2．将?ABCD绕点A逆时针旋转45°得到?A₁B₁C₁D₁，A₁D₁过点C，B₁C₁分别与AB、BC交于点P、点Q．
（1）求四边形CD₁C₁Q的周长；
（2）求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积；
（3）如图（2），将?A₁B₁C₁D₁以每秒1个单位的速度向右匀速运动，当B₁C₁运动到直线AC时停止运动．设运动的时间为x秒，两个平行四边形重合部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并直接写出相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先得出四边形CD₁C₁Q是平行四边形，进而得出C₁D₁，以及CD₁的长；
（2）利用等腰直角三角形的性质以及梯形的面积公式得出即可；
（3）当?A₁B₁C₁D₁运动到点C₁在BC上时，如图②，则C₁与Q重合，这时运动距离为C₁H 进而得出时间x的取值范围，利用当0≤x≤2

2

-2时，当2

2

-2＜x≤

2

时分别得出即可．

解答：解：（1）由条件可知，△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠D₁=45°，
∴CQ∥D₁C₁，
又∵CD₁∥QC₁，
∴四边形CD₁C₁Q是平行四边形．
∴C₁D₁=B₁A₁=AB=2．
CD₁=A₁D₁-AC=2

2

-2．
∴四边形CD₁C₁Q的周长为[（2

2

-2）+2]×2=4

2

．

（2）如图①，在等腰直角△A₁B₁P中，A₁B₁=2，
∴PA₁=

2

，PQ=BP=2-

2

．
∴S_{四边形APQC}=

1

2

×（2-

2

+2）×

2

=2

2

-1；

（3）当?A₁B₁C₁D₁运动到点C₁在BC上时，如图②，则C₁与Q重合，这时运动距离为C₁H （如图①），
∴C₁ H=QC₁=CD₁=2

2

-2这时运动时间 x=2

2

-2．
①当0≤x≤2

2

-2时，如图③，AA₁=x，AP=

2

-x，
PQ=BP=AB-AP=2-（

2

-x）=x+2-

2

，A₂C₂=C₂D=2-x．
y=S_{四边形ABCD}-S_△BPQ-S△A2C2D=AB×AC-

1

2

×BP•PQ-

1

2

×C₂D•C₂A₂
=2×2-

1

2

×（x+2-

2

）（x+2-

2

）-

1

2

×（2-x） （2-x）
=-x²+

2

x+2

2

-1．
②当2

2

-2＜x≤

2

时，如图④，P C₁=PA₁=

2

，AA₁=A₁A₂=x，
C₂C₃=C₂D₁=2

2

-2．
y=S梯形A1PC1D1-S△AA1A2-S△C2C3D1
=

1

2

×（

2

+2

2

）×

2

-

1

2

x²-

1

2

×（2

2

-2）²=-

1

2

x²+4

2

-3．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及梯形面积公式和平行四边形的性质等知识，根据已知得出x的取值范围进而得出y与x的函数关系式是解题关键．