Question

【题目】如图，为的直径，，为上一点，过点作的弦，设．

（1）若时，求、的度数各是多少？

（2）当时，是否存在正实数，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由；

（3）在（1）的条件下，且，求弦的长．

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）连结AD、BD,利用m求出角的关系进而求出∠BCD、∠ACD的度数;
（2）连结,由所给关系式结合直径求出AP，OP，根据弦CD最短，求出∠BCD、∠ACD的度数，即可求出m的值．
（3）连结AD、BD，先求出AD，BD，AP，BP的长度，利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例关系式，得出比例关系式结合勾股定理求出CP，PD，即可求出CD．

解：（1）如图1，连结、．

是的直径

，

又，

，

（2）如图2，连结．

，，

，则，

解得

要使最短，则于

，

，

，

故存在这样的值，且；

（3）如图3，连结、．

由（1）可得，

，，

，

，，

，

，

①，

②

同理

，

③，

由①得，由③得

，

在中，，

，

由②，得，

．