题目内容
【题目】我们给出如下定义：两个图形
和
，在上的任意一点
引出两条垂直的射线与相交于点
、
，如果
，我们就称、为点的垂等点，
、
为点的垂等线段，点为垂等射点．
(1)如图1，在平面直角坐标系
中，点
为
轴上的垂等射点，过
作轴的平行线
，则直线上的
为点的垂等点的是_______；
(2)如果一次函数图象过
，点为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式；
(3)如图3，以点
为圆心，1为半径作
，垂等射点在上，垂等点在经过(3，0)，(0，3)的直线上，如果关于点的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围(画出图形直接写出答案即可)．
【答案】(1)
；(2)
或
；(3)
.
【解析】
(1)如图1，判断与点P构成等腰直角三角形的两个点即可得到结论；
(2)①如图2，当垂等点
直线
右侧时，先根据AAS证明
，进而可得
，进一步即可求出点N坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数解析式；②如图3，当垂等点直线左侧时，同理可求；
(3)如图4，当点
在第一和第三象限的角平分线上且
时，取得最小或最大值，延长
交
于
，连接
，先用待定系数法求出直线
的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出PM的最小值和最大值，即得PM的范围．
解：(1)如图1，分别过
，
作
⊥x轴于
，
轴于
，
∴
，
∴
，
∴
，所以为点的垂等点，
故答案为：；
(2)①如图2，当垂等点在直线右侧时，作NF⊥x轴于点F，
依题意，可知
，
∵
，
∴
．
∴（AAS）．
∴．
∵
，∴
．
∵点在第一象限，∴
．
∴过点
、的一次函数表达式为；
②如图3，当垂等点直线左侧时，依题意同理可得
，
∴过点、的一次函数表达式为；
(3)如图4，当点在第一和第三象限的角平分线上且时，取得最小或最大值，
延长交于，连接，
∵
，∴直线的解析式为
，
当PM最小时，∵
，∴
，
∴的纵坐标为
，∴横坐标为
，
∴
，
同理可求得PM的最大值为
，
∴长的取值范围：．
