Question

2．设方程：x²+3x-5=0的两个实数根为x₁、x₂，不解方程，求下列代数式的值：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$；                                 
（2）x₁²+x₂²．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理得出x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5，再求出x₁-x₂=±$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\sqrt{（-3）^{2}-4×（-5）}$=$±\sqrt{29}$，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$即可得；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂即可得．

解答 解：（1）∵方程：x²+3x-5=0的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5，
∴x₁-x₂=±$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\sqrt{（-3）^{2}-4×（-5）}$=$±\sqrt{29}$，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{±\sqrt{29}}{-3}$=$±\frac{\sqrt{29}}{3}$；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=（-3）²-4×（-5）
=29．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．