题目内容

如图，直线y=kx-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，且 $数学公式$ ．
（1）求B点坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）探究：
①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为 $数学公式$ ，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）在y=kx-3中，令x=0，则y=-3，故C的坐标是（0，-3），OC=3，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OB= $\text{[math]}$ ，则B的坐标是：（ $\text{[math]}$ ，0），
把B的坐标代入y=kx-3，得： $\text{[math]}$ k-3=0，解得：k=2；

（2）OB= $\text{[math]}$ ，
则S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （2x-3）= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（3）①根据题意得： $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：x=3，则A的坐标是（3，3）；
②OA= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（-3 $\text{[math]}$ ，0）或（3 $\text{[math]}$ ，0）；
当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；
当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
与OA垂直的直线的斜率是：-1，设直线的解析式是：y=-x+b，把（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入得： $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ +b，
解得：b= $\text{[math]}$ ，
则直线的解析式是：y=-x+ $\text{[math]}$ ，令y=0，解得：x= $\text{[math]}$ ，则P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0）．
故P的坐标是：（-3 $\text{[math]}$ ，0）或（3 $\text{[math]}$ ，0）或（6，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）首先求得直线y=kx-3与y轴的交点，则OC的长度即可求解，进而求得B的坐标，把B的坐标代入解析式即可求得k的值；
（2）根据三角形的面积公式即可求解；
（3）分O，P，A分别是等腰三角形的顶角顶点三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解．
点评：本题考查了一次函数与等腰三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确进行讨论是关键．