Question

如图，已知以点A（2，-1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，过E作直线y=-2的垂线，垂足为N．
①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论；
②抛物线上是否存在点E使△EDN为等边三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出抛物线解析式y=a（x-h）²+k，依据它的顶点坐标和所经过的B点坐标，即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据已知，很容易就可以得到D点的坐标，E点为动点，分情况讨论：当点E与B重合时；当点E与O重合时；当点E与A重合时；当点E不与B、O、A重合时，结合抛物线解析式，设出E点的坐标，依据勾股定理，求出DE关于x、y的表达式，然后，根据E点的横坐标和N点的横坐标相同，求出EN关于x、y的表达式，即可看出它们相等；
②提出假设，根据已知点的坐标求证相关点的坐标，便可得知相关线段的长度，即可求证E点的坐标．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵抛物线的顶点A（2，-1）且过点B（4，0），
∴y=a（x-2）²-1，
且0=4a-1，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-1=x²-x；

（2）①猜想：DE=NE，
证明：∵点D为抛物线对称轴与x轴的交点，
∴得D（2，0），
当点E与B重合时，
∵D（2，0），B（4，0），
∴ED=2，
∵过E作直线y=-2的垂线，垂足为N，
∴EN=2，
∴DE=EN
当点E与O重合时，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
当点E与A重合时，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
当点E与A重合时，
∵A（2，-1），EN=2
∴DE=1，EN=1，
∴DE=EN，
当点E不与B、O、A重合时，
设E点坐标为，EN交x轴于点F，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（x-2）²+y²，
又∵NE=y+2，
∴=y²+x²-4x+4=（x-2）²+y²，
∴DE=NE，
综上所述，DE=NE；

②答：存在，
当点E在x轴上时△EDN为直角三角形，点E在x轴下方时△EDN为钝角三角形，所以只当E在x轴上方时△EDN才可能为等边三角形，
理由一：若△EDN为等边三角形，
∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，
∴EF=FN=2，
∴y=x²-x=2，
解得 x=2±2，
∴点E的坐标为，
理由二：若△EDN为等边三角形，
∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，
∴∠EDF=30°，EF=FN=2，
在Rt△DEF中，，
∴，
∵DA是抛物线的对称轴，且D（2，0），
∴根据抛物线的对称性得点E的坐标为．
点评：本题主要考查二次函数解析式的确定，根据解析式求点的坐标、勾股定理等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法