Question

如图1，将EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF。

1.若四边形ABCD为正方形，当EAF=时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）

2.如图2，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF= BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明。

3.在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结果即可）。

 

Answer 1

【答案】

 

1.EF=DF－BE

2.EF=DF－BE。

证明：在DF上截取DM=BE，连接AM。如图，

∵D＋ABC=ABE＋ABC=，

∴D=ABE。

∵AD=AB，

∴ADM≌ABE。

∴AM=AE，DAM=BAE。

∵EAF=BAE＋BAF=BAD，

∴DAM＋BAF=BAD。

∴MAF=BAD。

∴EAF=MAF。

∵AF是EAF与MAF的公共边，

∴EAF≌MAF。

∴EF=MF。

∵MF=DF－DM=DF－BE，

∴EF=DF－BE。

3.CEF的周长为15。

【解析】（1）（2）的解题思路一致，都是通过两步全等来实现；在DF上截取DM=BE，第一步，首先证△ADM≌△ABE，得DF=BE；第二步，证△AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得到DF、EF、BE的数量关系．

（3）根据前三问的结论知：EF=DF-BE，那么△CEF的周长可转化为：EF+BE+BC+FC=DF+BC+FC，即可得解．