Question

已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A(0，2)是⊙P与y轴的交点，点B(－2，0)在x轴上．连结BP交⊙P于点C，连结AC并延长交x轴于点D．

(1)求线段BC的长；

(2)求直线AC的关系式；

(3)当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，得OP＝1，BO＝2，CP＝1 　　在Rt△BOP中， 　　∵BP2＝OP2＋BO2，∴(BC＋1)2＝12＋(2)2， 　　∴BC＝2; 　　(2)过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F， 　　在△PBO中，∵CF∥BO，∴， 　　即，解得CF＝． 　　同理可求得CE＝． 　　因此C(－，)，设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 　　把A(0，2)，C(－，)两点代入关系式，得 　　，解得 　　∴所求函数关系式为y＝x＋2; 　　(3)在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似． 　　∵∠OPB＞∠OAD，∴∠OPB≠∠OAB 　　故若要△BOP与△AOD相似， 　　则∠OBP＝∠OAD．又∠OPB＝2∠OAD， 　　∴∠OPB＝2∠OBP 　　∵∠OPB＋∠OBP＝90°，∴3∠OBP＝90°， 　　∴∠OBP＝30°． 　　因此OB＝cot30°·OP＝ 　　∴B1点坐标为(－，0)， 　　根据对称性可求得符合条件的B2坐标(，0)． 　　综上，符合条件的B点坐标有两个：B1(－，0)．B2(，0)．