Question

18．四边形ABCD中，AB=3，CD=5，M、N分别是边AD，BC的中点，则线段MN的长的取值范围是（　　）

• A． 2＜MN≤8
• B． 2≤MN＜8
• C． 1＜MN≤4
• D． 1≤MN＜4

Answer 1

分析 利用中位线定理可得MG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，NG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，由三角形的三边关系得出1＜MN＜4，再由当MN=MG+NG，即MN=4时，四边形ABCD是梯形，即可得出MN的取值范围．

解答 解：连接BD，过M作MG∥AB交BD于G，连接NG．如图所示：
∵M是边AD的中点，AB=3，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，
∴BG=GD，MG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=5，
∴NG是△BCD的中位线，
∴NG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG＜MN＜MG+NG，
即$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$＜MN＜$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$，
∴1＜MN＜4，
当MN=MG+NG，即MN=4时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是1＜MN≤4．
故选：C．

点评 本题考查了三角形中位线定理、三角形的三边关系；解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．