Question

【题目】如图，、是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）

A.2B.1C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据正方形的性质可得BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA，∠ACD＝∠ACB，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠DFA＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．

解：在正方形ABCD中，BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACD＝∠ACB，

在Rt△ADM和Rt△BCN中，

，

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），

∴∠1＝∠2，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，

∴∠1+∠ADF＝90°，

∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，

取AD的中点O，连接OF、OC，

则OF＝OD＝AD＝1，

在Rt△COD中，OC＝，

当O、F、C三点不共线时，OC－OF＜CF，

当O、F、C三点共线时，OC－OF＝CF，

∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，

最小值＝OC﹣OF＝．

故选：C．