Question

如图，点E、F分别是正方形ABCD的两邻边BC、CD上的点，且∠EAF＝，EP⊥AC于P，FQ⊥AC于Q．求证：AB²＝AP·AQ．

Answer 1

答案：
解析：

证明：在正方形ABCD中， 　　∵AC为对角线， 　　∴∠CAB＝，即∠1＋∠3＝． 　　又∵∠EAF＝，即∠2＋∠3＝， 　　∴∠1＝∠2． 　　又∵∠B＝，FQ⊥AC， 　　∴△ABE∽△AQF． 　　∴＝． 　　同理可证△APE∽△ADF． 　　∴＝． 　　由①②得 　　＝． 　　又∵AB＝AD， 　　∴AB2＝AP·AQ．

提示：

点悟：题目结论中的三条线段AB、AP、AQ并不在两个相邻的三角形中，故需进行等量代换，将线段转化到两个相应的三角形中，再证明三角形相似．而题目中的正方形又为我们提供了等量代换的条件． 　　点拨：一般地，如果题目的结论是等积式，应先将其化为比例式，再进行分析和证明．